Esercizio 36

La rete in fig.1 è a regime nell’istante t=0s, istante in cui l’interruttore T chiude. Si calcoli l’andamento temporale della tensione v_c(t) per t>0s.

I_g = 1A,  R₁ = 6 W,  R₂ = 3 W,  C = 1/36 F,  L = 1 H,  g_m = 10 S,  n₁/ n₂ = 20.

fig.1

Il trasformatore ideale ed il generatore pilotato si comportano come un resistore di resistenza negativa, infatti:

La rete da risolvere nel dominio di Laplace diventa quindi la seguente (con l’interruttore T chiuso):

fig.2

Poichè, prima della chiusura dell’interruttore la rete è a regime costante, il calcolo delle condizioni iniziali V₀ = v_C(0^-) e I₀ = i_L(0^-) può essere effettuato mediante questa semplice rete:

fig. 3

da cui si evince che: V₀ = v_C(0^-) = R₁I_g = 6 V e I₀ = i_L(0^-) = 0 A.

Applicando il metodo dei nodi alla rete di fig.2, si ottene il seguente sistema risolvente:

Risolvendo il sistema per trovare E₂(s) otteniamo:

da cui antitrasformando si ha:

Considerazioni finali

Bisogna notare che: v_C(0⁺) = -6 V != v_C(0^-); quindi nell’istante t = 0 si ha un impulso nella corrente del condensatore.

Inoltre la risposta ha una sola frequenza naturale e ciò è dovuto alla presenza del generatore pilotato che, per il valore del parametro g_m assegnato, rende la rete degenere. Esiste infatti una relazione lineare tra le due variabili di stato (LKC al nodo 1, non messa in evidenza durante la soluzione dell’esercizio a causa dell’utilizzo del metodo di simbolico di Laplace): le due variabili di stato non sono quindi indipendenti.